Feat: Ajoute l'exercice 1 de l'interpolation & extrapolation

p1/ex3.py

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+import numpy as np
+
+
+# L'inverse d'une diagonale
+# D_inv = np.diag(1 / np.diag(A))
+
+
+def diag_strict_dominante(A) -> bool:
+    """
+    Pour chaque ligne, il faut que la somme des coefs non-diagonaux soit inférieure au coef diagonal
+    TOUT EST EN VALEUR ABSOLUE.
+    :param A:
+    :return:
+    """
+    A = np.array(A)
+    n = len(A)
+    for i in range(n):
+        diag = abs(A[i,i])
+        row_sum = np.sum(np.abs(A[i,:])) - diag # On fait la somme de toute la ligne puis on soustrait le coef diagonal
+        if diag <= row_sum:
+            return False
+    return True
+
+
+def jacobi(A, b, epsilon=1e-6, max_iter=100_000):
+    if not diag_strict_dominante(A):
+        raise ValueError("A doit être à diagonale strictement dominante")
+
+    x = np.zeros_like(b, dtype=float)
+    L = np.tril(A, k=-1)     # Partie triangulaire inférieure (sans diagonale)
+    U = np.triu(A, k=1)      # Partie triangulaire supérieure (sans diagonale)
+
+    for _ in range(max_iter):
+        x_new = np.diag(1 / np.diag(A)) @ (b - (L + U) @ x)
+        if np.linalg.norm(x_new - x, ord=2) < epsilon:
+            break
+        x = x_new
+
+    return x_new
+
+
+def gauss_seidel(A, b, epsilon=1e-6, max_iter=100_000):
+    D = np.diag(np.diag(A))
+    L = np.tril(A, k=-1)
+    U = np.triu(A, k=1)
+    x = np.zeros_like(b, dtype=float)
+    for _ in range(max_iter):
+        x_old = x.copy()
+        # Résolution de (D - L) x = U x_old + b
+        x = np.linalg.solve(D - L, -U @ x_old + b)
+        if np.linalg.norm(x - x_old, ord=2) < epsilon:
+            return x
+    raise RuntimeError('Gauss-Seidel : convergence non atteinte')
+
+
+def relaxation(A, b, omega=1.0, epsilon=1e-6, max_iter=100_000):
+    D = np.diag(np.diag(A))
+    L = np.tril(A, k=-1)
+    U = np.triu(A, k=1)
+    x = np.zeros_like(b, dtype=float)
+
+    # Pré-calculer (D - ωL)^(-1) une seule fois
+    inv_D_omega_L = np.linalg.inv(D - omega * L)
+
+    for _ in range(max_iter):
+        x_new = inv_D_omega_L @ (omega * (b - U @ x) - omega * L @ x + (1 - omega) * D @ x)
+        if np.linalg.norm(x_new - x, ord=2) < epsilon:
+            return x_new
+        x = x_new
+
+    raise RuntimeError("La méthode de relaxation n'a pas convergé.")
+
+
+
+if __name__ == '__main__':
+    A = np.array([
+        [8,4,1],
+        [1,6,-5],
+        [1,-2,-6]
+    ])
+
+    b = np.array([1,0,0])
+
+    D = np.diag(A)
+    L = np.tril(A)
+    U = np.triu(A)
+
+    res_jacobi = jacobi(A, b)
+    print(res_jacobi)
+
+    res_gauss = gauss_seidel(A, b)
+    print(res_gauss)
+
+    # je la commente car omega = 1 utilise la ^m fonction que gauss_seidel
+    #res_relaxation_1 = relaxation(A, b, 1)
+    #print(res_relaxation_1)
+
+    res_relaxation_less_1 = relaxation(A, b, 0)
+    print(res_relaxation_less_1)
+
+    res_relaxation_2 = relaxation(A, b, 2)
+    print(res_relaxation_2)
+
+    print('fini')