Feat: Ajoute l'exercice 1 de l'interpolation & extrapolation

p1/ex2.py

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+import numpy as np
+from ex1 import resolve_up, resolve_down
+
+
+def est_symetrique_definie_positive(A) -> bool:
+    """
+    Vérifie que A = A^t et que toutes les valeurs propres soit positive
+    :param A:
+    :return:
+    """
+
+    # Symétrie (avec tolérance pour les flottants)
+    sym = np.allclose(A, A.T)
+    # Définie positive : toutes les valeurs propres > 0
+    valeurs_propres = np.linalg.eigvals(A)
+    definie_positive = np.all(valeurs_propres > 0)
+    return sym and definie_positive
+
+
+def gauss(A, b):
+    """
+    Pas de condition, mais pas optimal non plus.
+    :param A: Une matrice
+    :param b: Un vecteur
+    :return: A triangularisée et b modifié en conséquence.
+    """
+    n = len(A)
+    for k in range(n): # k = pivot
+        for i in range(k+1, n): # i = ligne en dessous du pivot
+            g = A[i, k] / A[k, k] # multiplication pour éliminer A[i, k]
+            A[i, k:] -= g * A[k, k:] # row operation on A
+            b[i] -= g * b[k] # same row operation on b
+
+    return A, b # matrice triangularisée et le vecteur b modifié
+
+
+
+def cholesky(A):
+    if not est_symetrique_definie_positive(A):
+        raise ValueError('Matrice non symétrique définie positive')
+
+    m = A.shape[0]  # Taille de la matrice (m x m)
+    L = np.zeros_like(A, dtype=np.float32)  # Matrice L initialisée à zéro
+
+    for j in range(m):  # Parcourt chaque colonne j de 0 à m-1
+        for i in range(j, m):  # Parcourt chaque ligne i de j à m-1
+            s = sum(L[i, k] * L[j, k] for k in range(j))  # Somme des produits L[i,k] * L[j,k] pour k < j
+
+            if i == j:  # Élément diagonal
+                L[i, j] = np.sqrt(A[i, i] - s)  # Calcul de la racine carrée pour la diagonale
+            else:  # Élément hors diagonale
+                L[i, j] = (A[i, j] - s) / L[j, j]  # Calcul des éléments hors diagonale
+    return L
+
+
+if __name__ == '__main__':
+    A = np.array([
+        [1, 1, 1, 1],
+        [1, 5, 5, 5],
+        [1, 5, 14, 14],
+        [1, 5, 14, 15]
+    ], dtype=np.float64)
+
+    b = np.array([1, 0, 0, 0], dtype=np.float64)
+
+    A_triangle, b_gauss = gauss(A, b)
+    print(f"A triangulsarisée:\n {A_triangle}")
+
+    x = resolve_up(A_triangle, b_gauss)
+    print(f"x={x}")
+
+    A = np.array([
+        [4, 1, 1, 1],
+        [1, 5, 2, 1],
+        [1, 2, 6, 2],
+        [1, 1, 2, 7]
+    ])
+
+    L = cholesky(A)
+    print(f"L: {L}")
+    x = resolve_down(L, b)
+    print(f'x: {x}')